Resolución mediante fórmulas.
Método de completar el trinomio cuadrado perfecto \(t.c.p.\)
Para resolver \(ax^2+bx+c=0\) mediante el uso de fórmulas, recuerde el concepto de trinomio cuadrado perfecto y su factorización. Un trinomio \(ax^2+bx+c\) es cuadrado perfecto si el primer y tercer término son positivos y el segundo término es el duplo del producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término.
Para factorizar un t.c.p. basta con determinar las raíces cuadradas del primer y tercer término, separarlas por el signo del segundo y elevar esta suma o diferencia al cuadrado, por ejemplo,
\(x^2-6x+9=\left(x-3\right)^2~~~\) y \(~~~~~25x^2+10\sqrt3x+3=\left(5x+\sqrt3\right)^2\).
Además, para un valor \(k>0\) se tiene \(\sqrt k=r\). Teniendo en cuenta estos elementos se tiene el método de resolución para \(ax^2+bx+c\) llamado método del completar el cuadrado (t.c.p.).
Método de completar el cuadrado (t.c.p.) para \(ax^2+bx+c=0\)
1. Comience por escribir \(ax^2+bx+c=0\) en forma mónica.
$$ax^2+bx+c=0\Longrightarrow x^2+\frac{b}ax+\frac{c}a=0$$
2. Simplifique (si es posible) el resultado encontrado y escribiendo como:
$$x^2+Bx+C=0 \ \ \ \ {\rm donde} \frac{b}a=B;\ \ \frac{c}a=C$$
3. En \(x^2+Bx+C=0\) sume y reste \(\left(\frac{B}{2}\right)^2\) para tener un t.c.p. aumentado de la forma
$$x^2+Bx+\left(\frac{B}{2}\right)^2+C-\left(\frac{B}{2}\right)^2=0$$
4. Factorice el t.c.p. formado por los tres primeros términos y simplifique si es posible, el resto del polinomio, como sigue:
$$\left(x+\frac{B}{2}\right)^2-k=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm haciendo}\ \ C+\left(\frac{B}{2}\right)^2=k$$
5. Despeje \(x\) de la expresión anterior como sigue:
\begin{align}
&\left(x+\frac{B}{2}\right)^2-k=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Expresión~ del~ paso~ anterior.}\\
&\left(x+\frac{B}{2}+r\right)\left(x+\frac{B}{2}-r\right)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Factorizando\ por\ ser}\ \sqrt k=r\\
&\left\{\begin{array}{l}x+\frac{B}{2}+r=0\Longrightarrow x=-\frac{B}2-r\\x+\frac{B}{2}-r=0 \Longrightarrow x=-\frac{B}2+r\end{array} ~~~~~~~~~~~{\rm Igualando~a~cero~cada~factor.}\right.\end{align}
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Uso del método de completar el cuadrado. Resolver \(10x^2+13x-3=0\) usando el método de completar el t.c.p.